Se l'istante t₀ e' 0 si ha: ṽ = s-s₀ / t

da cui lo spazio percorso e' dato [2] s = s₀ + ṽ * t

La variazione di velocita' e' detta accelerazione, ovvero come varia la velocita' nel tempo.
Anche per l'accelerazione si puo' avere una accelerazione media indicata con ā o una accelerazione istantanea (a).
Occupandoci del MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO (MRUA)
ovvero con accelerazione costante (che non varia) l'accelerazione media coincide con l'accelerazione:
ā=a a= ā= Δv / Δt
in questo tipo di moto la velocita' aumenta progressivamente in modo costante.

Ovvero, la velocita' di un corpo, ad ogni secondo, aumenta' di una "quantita' pari all'accelerazione.
Percio' se un corpo parte da fermo con accelerazione uniforme di 10 m/s, dopo 10'' la sua velocita' sara' di 100 m/s.

Infatti essendo Δv = a * Δt si evidenzia che la velocita' e' direttamente proporzionale al tempo del moto.
La relazione tra velocita' e tempo, e' espresa da un grafico in cui l'inclinazione della retta dipende dalla grandezza della accelerazione.
Quanto piu' l'accelerazione e' alta, piu' la retta tende alla verticalizzazione.


Nel grafico di fig.4 si nota che nell'istante zero il corpo possiede gia' una velocita' iniziale.

figura 4


Se consideriamo un corpo gia' in movimento con velocita' inziale v₀ a partire dal tempo t₀ avremo che la relazione
con al velocita' finale v sara':
v - v₀ = a * (t - t₀ )
se il tempo iniziale t₀ e' uguale a 0 abbiamo la relazione
[3] v = v_{0 +} a * t
DETTA LEGGE DELLA VELOCITA'

Se v₀ fosse uguale a zero, cioe' il corpo partisse da fermo avremo semplicemente:

v = a * t
da cui
[3.1] a= v / t

L'accelerazione si misura pertanto in metri al secondo al quadrato.
Infatti se nella [3.1] si precisassero le unita' di misura , poiche'
v= m/s
si avrebbe
a= (m /s ) /s
a= m /s²

Ma cosa significa secondi al quadrato ?
Questa e' solo una rappresentazone sintetica del concetto che un corpo aumenta la sua velocita' (che e' in m/s) ad ogni secondo
In pratica questo significa che se un corpo ha una accelerazione costante di 3 m/s
dopo 1 secondo la sua velocita' sara' di 6 m/s e dopo un altro secondo la sua velocita' aumenta a 9 m/s etc
Sarebbe piu' corretta (logicamente) questa simbologia m/s * (s)


Vediamo ora la relazione tra accelerazione e spazio.
Come detto nell'accelerazione le velocita' variano
ma la velocita' media ṽ in un moto accelerato e' data tra la media
della velocita' inizale v₀ e quella finale v
ovvero

[4 ] ṽ = ( v₀ + v ) / 2

In un MRUA lo spazio A-B percorso nell'intervallo di tempo puo' essere calcolato utilizzando
le velocita' media tra A e B ovvero [V(A)+V(A)]/ 2
riprendendo la formula [2] del moto rettilinneo uniforme
s = s₀ + ṽ * t

e sostituendo in essa la ṽ media nel MRUA ovvero la [4] - abbiamo


[5] s = s₀ + { ( v₀ + v ) * t } / 2

sostituendo nella [5] il valore v della [3] si ottiene

s = s₀ + { ( v₀ + v_{0 +} a * t ) *t} /2

e procedendo algebricamente otteniamo
s = s₀ + { ( 2v₀ * t + a * t ² } /2

[ 6 ] s = s₀ + v₀ * t + ( a * t ² } /2 che e' la legge oraria del MRUA

se nella [6] si considera velocita' iniziale e punto iniziale uguali a zero

si ottiene ch lo spazio percorso
[7] s = a * t ² / 2
la [7] e' simile ad una equazione tipo Y = a X² ovvero di una parabola

considerando un corpo che cade da una altezza qualsiasi con

accelerazione di gravita' pari a 9,8 m/s il grafico (fig.5) mostra la relazione spazio tempo

e le corrispondenti velocita' espresse sia in m/s (=Km/h /3,6) sia in km /h (=m/s * 3,6)

figura 5


Trasformando e sostituendo nelle varie formule si puo' ricavare che

Δs= (v² – v₀ ² ) / 2 * a
e l'inversa

a= (v² – v₀ ² ) / 2 * Δs

Ragionamdo sul diagramma di fig. 5, essendo la curva, come detto, una parabola,
il coefficiente angolare di una retta tangente un punto qualsiasi della curva, sarebbe
la velocita' istantanea in quell'istante. (vedere esempio 3) ****** ESERCIZI *******
1)
Un corpo parte da fermo e dopo 25 secondi raggiunge la velocita' di 80 m/s. Quanto spazio ha percorso ?

Attenzione a non confondere la s del tempo espresso in secondi e la s riferita allo spazio

Si tratta di un moto accelerato con t(0)=0 e s(0)=0
per conoscere lo spazio s si deve calcolare la sua accelerazione
pertanto a= v / t a= 80 m/s / 25 s = 3,2 m/s ²
e lo spazio percorso sara'
s= 1 / 2 * 3,2 m/s² * ( 25 m/s )2 = 1000 m



2)Esercizio tratto da Tutorial di fisica - Arrigo Amadori

Consideriamo due automobili: A1 davanti e A2 dietro.
Entrambe si muovono con velocità costante pari a  108 km/h  (30 m/s)
lungo una strada rettilinea e che le due auto siano alla distanza di  20 m  l'una dall'altra 

Ad un certo istante, t=0, la macchina (A1) improvvisamente inizia a frenare.
in modo  costante,quindi con accelerazione negativa costante,
e che la frenata duri  5''  prima che l'auto sia 
completamente ferma.

L'auto A2 che segue inizia a frenare dopo un tempo di reazione di 1''  
Supponiamo anche che il "modo" di frenare dell'auto  A2  sia lo stesso di quello dell'auto A1 .

Prendiamo l'origine dello spazio ( s = 0 )   coincidente con il davanti dell'auto  A2  all'istante iniziale  t = 0 . 
In questo modo abbiamo completato la definizione del sistema di riferimento.

Cosa succederà ? L'auto  A2  tamponerà  A1 ?


All'istante iniziale  t = 0  la situazione delle due auto è quindi la seguente :

       

Consideriamo ora il moto dell'auto  A1  e deduciamone l'equazione spazio-tempo del moto.

Supponendo la frenata uniforme, ricaviamo l'accelerazione (negativa) corrispondente :

        .

Il moto di  A1  è un moto rettilineo uniformemente accelerato per cui la sua equazione spazio-tempo 
sarà :

        .

Nel nostro caso, essendo lo spazio iniziale di  A1  pari a  20 m  e la velocità iniziale  30 m/s , si avrà :

       

da cui, semplificando :

        .

Consideriamo ora il moto agli istanti  t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Otteniamo perciò, facendo i calcoli, la 
seguente tabella oraria :

       

si noti che dopo  t = 5  l'auto  A1 , avendo completamente frenato, rimane ferma,
per cui la sua  posizione  95 metri dopo l'inizio della frenate non cambia.

Consideriamo ora il moto dell'auto  A2  limitandoci per semplicità a considerare che esso è un moto 
rettilineo uniforme da  t = 0  a  t = 1  ( 1  secondo è il tempo di reazione di  A2 ) mentre diventa 
uniformemente accelerato in seguito allo stesso modo di  A1 , perché si presuppone che le due auto 
abbiano un identico sistema di frenata.

Otterremo allora la seguente tabella oraria :

       

(l'abbiamo ottenuta semplicemente aggiungendo a  30  (la posizione all'istante  t = 1 ) la differenza 
di spazio fra  47 - 20  della precedente tabella ecc.)

Riportiamo ora questi dati su un diagramma spazio-tempo e disegniamo i grafici del moto delle due
auto :

       

Dal grafico si vede bene che un po' prima dell'istante  t = 4  l'auto  A2  tamponerà l'auto  A1 !!!


3) Esercizio
Verifichiamo che il coefficiente angolare (m) della retta tangente alla parabola di fig.5 a 10''
e' proprio quello riportato nella tabella a fianco cioe'=98 che esprime la velocita' in quell'istante.
L'equazione generica della parabola e':
y = 1/2 * m * x^2
che coincide con la formula della relazione della accelerazione spazio/tempo ovvero
s= 1/2 * a * t^2
sostituendo i valori abbiamo: s= 1/2 * 9,8 * 10^2 = 490 ma lo spazio e' rappresentato sull'asse delle y percio' si ha che s=y=490
Ora occorre trovare il coefficiente angolare ( m )della tangente nel punto di coordinate 10,490

L'equazione generica di una retta passante per i punti noti x0 e yo e':
y - y0 = m * (x - x0)
sostituendo i valori otteniamo:
y - 490 = m ( x - 10)
da cui si ricava che
y = mx - 10m +490
ora, poiche' questa retta deve essere tangente alla parabola
si devono mettere in relazione (in sistema) le rispettive equazioni
y = mx - 10m +490 (retta)
y = 1/2 * 9,8 * x^2 (parabola)
da cui si ottiene per sostituzione :
1/2 * 9,8 * x^2 = mx -10m +490
e ordinando rispetto alle x otteniamo:

4,9 * x^2 - mx + 10m -490 = 0 [eq. 1]

che ' una equazione di secondo grado
che si risolve con la formula classica :

La condizione di tangenza e' che il discriminante o delta (b^2 - 4ac) della equazione sia uguale a zero
cioe' ammetta un'unica soluzione rispetto alle x
(covvero un solo valore di x, perche' se fossero 2 la retta sarebbe secante alla parabola incontrandola in 2 punti)
quindi per l'[eq.1] si ha che b^2=m^2 e 4ac= 4*4,9*(10m-490)
e porre la condizione uguale a zero
m^2 -4*4,9* (10m -490)=0
questa diventa a sua volta una equazione di secondo grado rispetto ad (m) che e' il valore che dobbiamo trovare
m^2 - 19,6 * 10m - 19,6*490 =0
per trovare m applichiamo la solita formula dove
b^2 = 196 *196 = 38416
-4ac=-4*19,6*490 = 38416
il che porta da azzerare il discriminante, restando solo
m= -b / 2a
m= -(-196) / 2
m=98
che' esattamente il valore della velocita' dopo 10'' (come da tabella e da calcolo)